线性代数第一章PPT课件：线性方程组与矩阵.PPT

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1、第一章第一章 线性方程组与矩阵线性方程组与矩阵二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组三、矩阵的定义、初等行变换求解方程组三、矩阵的定义、初等行变换求解方程组形如形如一、简介线性方程组一、简介线性方程组称为含有称为含有m个方程个方程n个未知量的线性方程组个未知量的线性方程组. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1 . 1(称为齐次线性方程组；称为齐次线性方程组；则则若若)1 . 1(), 2 , 1(0mibi 方程组方程组否则称之为非齐次线性否则称之为非齐次线性).(不全为零时不全为零时即即ib.)1 . 1(,)1

2、. 1(,2211221121的一个解的一个解为为则称则称个等式都成立个等式都成立的的可使得可使得时，时，当当个数个数若存在若存在nnnnncxcxcxmcxcxcxcccn .)1 . 1()1 . 1(的解集的解集之为之为的全部解组成的集合称的全部解组成的集合称.,)1 . 1(等价方程组等价方程组称他们是同解方程组或称他们是同解方程组或集相同，则集相同，则若两个线性方程组的解若两个线性方程组的解称之为不相容的称之为不相容的否则否则则称之为相容的则称之为相容的至少存在一个解至少存在一个解若方程组若方程组二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组)2 . 1(132例例1.1 解三元线性方

3、程组解三元线性方程组 , 426, 22,1283321321321xxxxxxxxx , 426,1283, 22321321321xxxxxxxxx)3 . 1(解解)2 . 1(12 , 24, 622, 223232321xxxxxxx)4 . 1()3 . 1()4 . 1(322 ,105, 622, 22332321xxxxxx)5 . 1()5 . 1( , 2, 3, 22332321xxxxxx)6 . 1(21 351 2行阶梯形方程组行阶梯形方程组 1233 1 , 2, 1, 2232321xxxxx)6 . 1(32 )7 . 1()7 . 1(2 132 1 ,

4、2, 1, 2321xxx)8 . 1(线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换.加到另一方程上用一个数乘一个方程后)3(;某个方程用一个非零的常数乘以)2(;交换两个方程的次序)1()(同解变换同解变换：的求解过程用数表表示的求解过程用数表表示方程组方程组)2 . 1(12 13233 322 4261212112183 4261121832121 214062202121 1050062202121 210010102001用数表化简更好！用数表化简更好！2 132 121 351 2 21003110212132 210010102121.(1.2)2, 1, 2,321的解的解是是于是

5、于是 xxx唯一解唯一解三、矩阵的定义、初等行变换求解方程组三、矩阵的定义、初等行变换求解方程组定义定义1.1 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 . .简称简称 矩阵矩阵. .列列矩矩阵阵行行nmnm mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为简记为).()(ijnmijnmaaAA 元元列的元素或列的元素或行第行第的第的第称为称为),(jijiAaij.)(为列标为列标为行标，为行标，中中jiaij记作记作.)(,)(,为复矩阵为复矩阵

6、否则称否则称称为实矩阵称为实矩阵则矩阵则矩阵都是实数都是实数若矩阵中每个元素若矩阵中每个元素ijijijaAaAa 左边系数排列成的数表左边系数排列成的数表方程组方程组)2 . 1( 261121183 4261212112183构成的数表构成的数表项项系数矩阵右侧添加常数系数矩阵右侧添加常数的系数矩阵的系数矩阵称为方程组称为方程组.)2 . 1(.)2 . 1(的增广矩阵的增广矩阵称为方程组称为方程组特点：特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行；）每个台阶只有一行；对应的矩阵为对应的矩阵为行阶梯形方程组行阶梯形方程组)5 .

7、1( 1050062202121（3 3）阶梯竖线后面的第一个元素不为阶梯竖线后面的第一个元素不为0.0.这样的矩阵称为行阶梯形矩阵这样的矩阵称为行阶梯形矩阵. .0其他元素都为且这些非零元所在列的)2(,1为每个非零行的首个元素)1( 210010102001对对应应的的矩矩阵阵为为行行阶阶梯梯形形方方程程组组)8 . 1(:,而而且且还还满满足足是是行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵.形矩阵这样的矩阵称为行最简矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换),()3();,0()2();,()1(jiijikrrikjkrikrrji 记为记为行上行上倍加到第倍加到第行的行的第第到另一行上到另一行上将某行乘以一个

8、常数加将某行乘以一个常数加记为记为行行乘以第乘以第以以以非零实数乘以某行以非零实数乘以某行记为记为两行两行，交换交换交换两行交换两行解线性方程组步骤：解线性方程组步骤：写出方程组的解写出方程组的解行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵增广矩阵增广矩阵初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换例例1.2 求解线性方程组求解线性方程组 . 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解)9 . 1(将将(1.9)的增广矩阵作初等行变换的增广矩阵作初等行变换 979632113221112412119796342264412112

9、11122321rrr 31000620000111041211343306355002220412112423214133235232rrrrrrrrrrr 000003100030110401010000031000011104121132213432rrrrrrr行最简形矩阵行最简形矩阵对应的方程组为：对应的方程组为： 0033443231xxxxx)10. 1(.)9 . 1()10. 1(是同解方程组是同解方程组与与 33443231xxxxx.3可以任意取值可以任意取值其中其中x的解为：的解为：则则)9 . 1(无穷多个解无穷多个解例例1.3 求解线性方程组求解线性方程组 . 32

10、, 14, 12343243214321xxxxxxxxxxx解解)11. 1(将将(1.11)的增广矩阵作初等行变换的增广矩阵作初等行变换 1000021120123113112021120123113112011411123112312rrrr.)11. 1( ,无解无解故故一、几种特殊矩阵一、几种特殊矩阵二、矩阵的运算二、矩阵的运算一、几种特殊矩阵一、几种特殊矩阵(4)形如形如的方阵称为的方阵称为n阶阶对角矩阵对角矩阵.(3)若若m=n，则矩阵，则矩阵A称为称为n 阶阶方阵方阵. .(1) 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).

11、 .,21 naaaB(2) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). n 00000021 .,21ndiagA 方阵方阵称为称为数量矩阵数量矩阵 ( (或或纯量阵纯量阵) ) A(5)方阵方阵称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵） 111nEE(6)方阵方阵 nnnnaaaaaaA22211211称为称为上三角形矩阵上三角形矩阵（或（或上三角阵上三角阵）方阵方阵 nnnnaaaaaaA21222111称为称为下三角形矩阵下三角形矩阵（或（或下三角阵下三角阵）空白处的元素都是空白处的元素都是0 (7) 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩

12、阵零矩阵，零矩阵记作，零矩阵记作 或或 . .nmO O矩阵的运算矩阵的运算两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同型矩阵同型矩阵.例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.定义定义1.2 两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵, ,并且对应元素相等并且对应元素相等, ,即即)()(ijijbBaA 与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等, ,记作记作BA与与.BA 1、矩阵相等、矩阵相等定义定义1.3 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221

13、211112121111 设有两个设有两个 矩阵矩阵 则则矩阵矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ),(),(ijijbBaA ABBA )(ijbaBAij 注意：只有同型矩阵才能进行加法注意：只有同型矩阵才能进行加法2、矩阵的加法、矩阵的加法例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律;)1(ABBA . )()()2(CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.)()3(OAA ),(ija 矩阵矩阵 A 的负矩阵的负矩阵 A . )( B

14、ABA 矩阵减法矩阵减法 定义定义1.4.212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 3、数与矩阵的乘积、数与矩阵的乘积规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA. )(ijaA 446222312例如例如;)()()4(AA ;)()5(AAA .)()6(BABA 数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律(设设 为为 矩阵，矩阵， 为数为数) ,nm BA、,1)7(AA .0)8(OAOA 或或 4、 矩阵乘法矩阵乘法定义定义1.5 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 笑脸原则笑脸原则nm

15、nssmCBA 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中)(ijaA sm )(ijbB ns nm )(ijcC AB例例1.7 设设解解 1111,2211,123456,654321DCBA.,CDBAAB求求 41561420163554264564133251234261123456654321AB 1296302316483726613251224112633453244314653655364516654321123456BA.000011112211 CD注意注意(1)

16、只有当只有当A的列数等于的列数等于B的行数时，的行数时，A与与 B才能相乘才能相乘. 106861985123321例如例如不存在不存在. (2) AB有意义时，有意义时，BA未必有意义未必有意义, AB与与BA都都有意义的矩阵有意义的矩阵, 他们的阶数未必相同他们的阶数未必相同, 即使是同阶即使是同阶矩阵矩阵, AB与与BA也不一定相等也不一定相等;若若 AB=BA, 则称矩阵则称矩阵A与与B可交换可交换.,)(,)3(的结论的结论不能得出不能得出也也且且的结果；若的结果；若或或不能得出不能得出即由即由能是能是两个非零矩阵的乘积可两个非零矩阵的乘积可YXOYXAOAOBOAOABO 矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律;)()()1(BCACAB ,)()2(ACABCBA ;)(CABAACB )()()()3(BABAAB ;)4(nmnmmnnmAAEEA .AEAAE 简写为简写为( 其中其中 为数为数 ) ;左乘、右乘，单位阵的阶会不同左乘、右乘，单位阵的阶会不同例例1.8 将下列方程组写为矩阵方程将下列方程组写为矩阵方程 Ax=b.xxxxxxxxxxxx 1234123